第153章 周群的愤怒（1 / 2）

各位老师，我们仔细分析了题目和黄国栋同学的解法，发现了一个关键的逻辑漏洞。黄国栋同学在证明过程中假设z=x+iy，其中x和y都是实数。但是，题目中并没有明确说明z必须是直角坐标形式。

事实上，如果我们考虑z的极坐标形式z=re^(iθ)，其中0≤r≤1，0≤θ<2π，我们可以得到一个更精确的结果。

e^z+e^(-z)=e^(re^(iθ))+e^(-re^(iθ))

利用泰勒级数展开，我们可以得到：

e^z+e^(-z)=2+r^2cos(2θ)+O(r^4)

这个结果表明，当|z|很小时，|e^z+e^(-z)|≈2，而不是像黄国栋同学证明的那样接近2cosh(|z|)。

更进一步，我们可以利用Joukowsky变换和最大模原理来严格证明，对于|z|≤1，有：

|e^z+e^(-z)|≤2

这个上界比2cosh(|z|)更紧，因为对于所有|z|≤1，都有2≤2cosh(|z|)。

因此，我们认为原题的结论虽然正确，但不是最优的。最优的不等式应该是|e^z+e^(-z)|≤2。\"